Concours ENSAM 2022 Mathématiques

Question 1

Pour \( n \in \mathbb{N} \), soit \( S_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^3+2} + \cdots + \frac{n}{n^4+n} \). A l'aide d'un encadrement de \( S_n \), choisir la bonne réponse.

A) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = 0\) B) \( (S_n) \) est divergente C) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{2}\) D) \( (S_n) \) est convergente et \(\lim_{n \to +\infty} S_n = 1\) E) Autre réponse

Question 2

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) avec \(||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 \, cm\), on considère le point \(A(1, -2, -1)\) et la droite \((D)\) d'équation cartésienne \(\frac{x-1}{2} = y + 1 = z\). La distance du point \(A\) à la droite \((D)\) est égale à :

A) \(\frac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}\) B) \(\frac{2\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}\) C) \(\frac{\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}\) D) \(\frac{\sqrt{2}}{3} \, \text{cm}\) E) \(\frac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}\) F) Autre réponse

Question 3

Pour \(z \in \mathbb{C}\), on note par \(M(z)\) le point du plan complexe d'affixe \(z\). L'ensemble \(A = \{M(z) : (z - 3i)(z̄ + 3i) = 2\}\) est :

A) un demi-plan B) une droite C) union de deux demi-droites D) un cercle E) Autre réponse

Question 4

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0) = 0\) et \(f'(0) = 1\). La limite \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)f(2x)...f(nx)}{x^n}\) est égale à :

A) \( n \) B) \(\frac{n}{n!}\) C) \(\frac{1}{n}\) D) \( n! \) E) \( 1 \) F) Autre réponse

Question 5

Soit \(f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} - \frac{x e^x}{1+ e^x}\). La courbe représentative \(c_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :

A) une asymptote oblique d'équation \( y = -x \) B) une asymptote oblique d'équation \( y = x \) C) une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation y = -x D) une asymptote verticale E) Autre réponse

Question 6

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \frac{x}{1-e^\frac{1}{x}}\) si \(x \neq 0\) et \(g(0) = 0\), et soit \(c_g\) la courbe représentative de \(g\). Choisir la bonne réponse.

A) \( C_g \) admet une demi-tangente oblique à l'origine B) \( C_g \) admet une tangente horizontale à l'origine C) \( C_g \) admet une tangente verticale à l'origine D) \( g \) est non bornée au voisinage de 0 E) Autre réponse

Question 7

Soit \(u_0 = \frac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = u_n^2 + \frac{3}{16}\), \(\forall n \geq 0\). Sachant que la suite \((u_n)_n\) est décroissante, choisir la bonne réponse :

A) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{4}\) B) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{3}\) C) \((u_n)\) est divergente D) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{4}\) E) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 4\) F) Autre réponse

Question 8

Pour \(n \in \mathbb{N}\), soit \(I_n = \int_0^1 (1 - x)^n e^{-nx} dx\). Choisir la bonne réponse.

A) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{1}{e}\) B) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = 0\) C) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = 1\) D) \((I_n)\) est divergente E) \(\lim_{n \to +\infty} I_n = e\) F) Autre réponse

Question 9

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), le polynôme \(P = nx^{n+1} - (n + 1)x^n + 1\) est :

A) divisible par \((x - 1)^2\) B) divisible par \( x - 2 \) C) non divisible par \( x - 1 \) D) Autre réponse

Question 10

Dans \(\mathbb{R}^*\), l'équation \(e^{-\sqrt{2}x} - \sqrt{2} x + \sqrt{3} = 0\) admet :

A) plus de trois solutions B) deux solutions distinctes C) une solution unique D) aucune solution E) Autre réponse

Question 11

Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) telle que \(f(2021x + 2022) \leq 2021x \leq f(2021x) + 2022\). Choisir la bonne réponse.

A) \( f \) est un polynôme de degré 2 et \( f(2021) \geq -1 \) B) \( f \) est constante C) \( f \) est un polynôme de degré 1 D) \( f \) est un polynôme de degré 2 et \( f(2022) \leq 0 \) E) Autre réponse

Question 12

L'inéquation \(\sin(x) + 2\sin(y) + 3 \leq 0\) admet dans \(]-\pi, \pi]^2\) :

A) une infinité de solutions B) une solution unique C) aucune solution D) deux solutions distinctes E) Autre réponse

Question 13

Dans \(\mathbb{N}^*\), l'équation \(x^2 - y^2 - 21 = 0\) admet :

A) aucune solution B) une infinité de solutions C) deux solutions distinctes D) une solution unique E) Autre réponse

Question 14

Soit \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) tels que \(a^3 + b^3 + c^3\) est divisible par \(3\), et soit \(S = a + b + c\). Sachant que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), le nombre \(3\) divise \(n^3 - n\), choisir la bonne réponse.

A) \( S \) est multiple de 3 B) \( S \) et 3 sont premiers entre eux C) le reste de la division euclidienne de \( S \) par 3 est 2 D) autre réponse

Question 15

Le nombre entier naturel \(1^{2021} + 2^{2021} + \cdots + 4^{2021}\) est :

A) multiple de 5 B) impair C) non divisible par 5 D) premier E) autre réponse

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Épreuve de Mathématiques

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